LOGIKA PREDIKAT
Sebagai dasar pada materi Kecerdasan Buatan (Artificial Intellegence)
Logika predikat digunakan untuk merepresentasikan hal-hal yang tidak dapat direpresentasikan dengan menggunakan logika proposisi.
Representasi Fakta Sederhana
Andi adalah seorang laki-laki : A
Ali adalah seorang laki-laki : B
Amir adalah seorang laki-laki : C
Anto adalah seorang laki-laki : D
Agus adalah seorang laki-laki : E
Akan terjadi pemborosan jika dinyatakan dalam proposisi karena memiliki predikat yang sama
Penyelesaian dengan ditulis
laki-laki(x)
Dimana x adalah variabel yang disubstitusikan dengan andi, ali, amir, anti dan nama2 lain.
Fungsi Proposisi
Budi seorang mahasiswa
Titik seorang mahasiswa
Budi dan Titik mempunyai predikat sama “seorang mahasiswa”
“seorang mahasiswa” p; Budi a; Titik b;Budi
Penulisan kalimat diatas menjadi :
p(a) dimana a mempunyai sifat p
p(b) dimana b mempunyai sifat p
Jika x mempunyai sifat p > p(x)
Jika x dan y mempunyai sifat p > p(x,y)
Jelas bahwa p(x) suatu pernyataan maka operasi-operasi untuk pernyataan , seperti misalnya and, or, not, if….then ….. , dan …..If and only if ….. dapat digunakan untuk pernyataan seperti tersebut diatas.
MISAL
Nyatakan dengan simbol subyek-predikat
Asumsi :
Aryanti > a, Bram > b, Cicha > c
adalah seorang manusia > M
- Aryanti adalah manusia > M(a)
- Bram adalah manusia > M(b)
- Cicha adalah manusia > M(c)
M(a), M(b), M(c) > Pernyataan bernilai kebenaran T/F
Lambang umum > M(x) dimana x = a, x = b, x = c
M(x) > Fungsi Proposisi Bukan pernyataan
Predikat dan kuantifier
“x > 3”
yakni “x” sebagai subjek dan “ adalah lebih besar 3” sebagai predikat P (Fungsi Proposisi).
Disimbolkan pernyataan “x > 3” dengan P(x) tdk mengandung nilai kebenaran.
Kita masukkan x=4 dan x=1 P(4) dan P(1) dapat dicari nilai kebenarannya.
“P(x) benar untuk semua nilai x dalam domain pembicaraan”
∀x P(x).
Misal
Dengan domain himp bil real
Apakah nilai kebenaran dari ∀x P(x), dimana P(x) adalah
x2 ≥ 0 ?
∀xP(x) benar karena untuk setiap bilangan real x, kalau dikuadratkan akan bernilai positif atau nol.
Apakah nilai kebenaran pernyataan ∀x P(x)dimana P(x) adalah x2 – 1 > 0
salah, jika x = 1 proposisi 1 – 1 > 0 = salah.
Karena terdapat satu nilai pada daerah Domain yang
salah maka pernyataan kuantor universal ∀x, x2 – 1 > 0
adalah salah.
Nyatakan cara membacanya dan nilai kebenarannya
1. Misalkan x adalah bilangan real, maka (x)[x2 + 2 > 0]
2. Misalkan x adalah bilangan real, maka (x)[x2 + 1 = 0]
1. Misalkan x adalah bilangan real, maka (x)[x2 + 2 > 0]
Benar,
x=1 (x)[x2 + 2 > 0] = (x)[12 + 2 > 0] = 3>0
2. Misalkan x adalah bilangan real, maka (x)[x2 + 1 = 0]
Salah,
x=1 (x)[x2 + 1 = 0] = (x)[12 + 1 = 0] = 2 ≠ 0
Predikat & Kuantifier
¤“Ada nilai x dalam domain pembicaraan sehingga P(x)bernilai benar” ditulis
∃x P(x)
¤∃x P(x) dapat diartikan :
Hanya ada satu x sedemikian sehingga P(x) bernilai benar
Ada minimal satu x sedemikian sehingga P(x) bernilai benar
Misal
Tentukan nilai kebenaran dari ∃x P(x) bila P(x)menyatakan
“x2 > 12”
dan domain pembicaraan meliputi semua bilangan bulat positif tidak lebih dari 4.
Penyelesaian :
∃x P(x) Benar
x=1 > x2 > 12 = 1 > 12
x=2 > x2 > 12 = 4 > 12
x=3 > x2 > 12 = 9 > 12
x=4 > x2 > 12 = 16 > 12 benar
Domain adalah bilangan Real, apakah nilai kebenaran dari
∃x P(x) dimana P(x)adalah x/(x2 +1) = 2/5 ?
P(x) menyatakan x > 3. ∃x P(x) ?
P(x) x = x + 1. ∃x P(x) ?
P(x) menyatakan x2 >10. ∃x P(x) ?
(x)[x2 + 1 = 0] ?
(x)[2x + 5 ≠ 2 + 2x] ?
Apakah kedua kalimat di bawah sama?
- Setiap laki-laki wajib militer >(/x)M(x)
- Ada beberapa laki-laki yang wajib militer > (x)p(x)
Kalimat dapat ditulis menjadi :
- Untuk setiap x, jika x laki-laki maka x wajib militer
- Terdapat x sehingga x laki-laki dan x wajib militer
Jika p adalah menunjukkan sifat “laki-laki” dan M menunjukkan sifat “wajib militer”, maka kalimat tersebut dapat ditulis :
(x)p(x)>M(x) atau (x)p(x) > M(x)
Kuantor universal selalu diikuti dengan implikasi
dan
Kuantor eksistensial selalu diikuti dengan konjungsi
Negasi
“Setiap mhs dalam kelas ini telah mengambil Logika”
[∀x P(x)] (P(x) adalah x yang telah mengambil logika)
Negasi dari pernyataan ini….?
”Tidak semua mhs dalam kelas ini yang telah mengambil Logika”
“Ada seorang mhs dalam kelas ini belum mengambil Logika
[ ∃x ¬ P(x)]
Jadi, ¬∀x P(x) ≡∃x ¬ P(x).